以下是一些可导但不连续的例子： ### 一元函数例子 1. **分段函数**： * 例子1：$f(x)=\begin{cases}x^2，x<0 \\ 2x，x\geq0\end{cases}$ + 分析：该函数在x=0处可导，但f'(x)在x=0处不连续，因为lim[f'(x)，x → 0^-] = 0而lim[f'(x)，x → 0^+] = 2。 * 例子2：$f(x)=\begin{cases}\sin x，x<\pi \\ 1，x\geq\pi\end{cases}$ + 分析：该函数在x=π处可导，但f'(x)在x=π处不连续，因为lim[f'(x)，x → π^-] = cos(π) = -1而f'(π)不存在（或视为0，因为函数在x≥π时为常数1，导数为0）。但严格来说，这种分类方式取决于如何定义分段函数在端点处的导数，不过它仍然展示了导数不连续的可能性。 * 例子3：$f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x}，x<0 \\ 0，x=0 \\ x，x>0\end{cases}$ + 分析：该函数在x=0处可导（通过定义f'(0)=0），但f'(x)在x=0处不连续，因为lim[f'(x)，x → 0^-] = -1/x²（趋于-∞）而lim[f'(x)，x → 0^+] = 1。 2. **特殊函数**： * $f(x) = x^2\sin\left(\frac{1}{x}\right)$，当x≠0；f(0) = 0 + 分析：该函数在x=0处连续且可导，但f'(x) = $2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)$在x=0处不连续，因为lim[f'(x)，x → 0]不存在（由于cos(1/x)的振荡性）。 ### 多元函数（概念性说明） 对于多元函数，可导性通常指的是在某个点沿所有方向（或至少沿某些特定方向，如x和y方向）的偏导数存在。然而，这并不意味着函数在该点连续。连续性的要求更为严格，它要求函数值从任意方向趋近于该点时都趋近于同一极限值。 * **例子**（概念性）：考虑一个多元函数z=f(x,y)，它在某点(x0,y0)沿x和y方向的偏导数都存在，但如果从其他非x、y方向趋近于(x0,y0)时函数值不趋近于f(x0,y0)，则该函数在该点不连续。尽管这样的例子可能需要复杂的数学构造来具体展示，但它说明了多元函数可导不一定连续的概念。 请注意，以上例子主要关注一元函数的情况，因为对于一元函数来说更容易构造出具体的、直观的可导但不连续的例子。多元函数的情况则更为复杂和抽象一些。