首先，我们需要明确一点：一个函数在某一点可导，意味着该函数在该点的导数存在。然而，这并不意味着该函数在该点一定连续。实际上，存在一些函数，它们在某点可导但并不连续。以下是一些典型的例子： ### 一、分段函数 考虑以下分段函数： f(x)={1,x<00,x=02,x>0f(x) = \begin{cases} 1, & x < 0 \\ 0, & x = 0 \\ 2, & x > 0 \end{cases}f(x)=⎩⎪⎨⎪⎧1,0,2,​x<0x=0x>0​ 这个函数在x=0x = 0x=0处可导，因为f′(0)f'(0)f′(0)存在（通过导数定义可求得f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0）。但是，函数在x=0x = 0x=0处并不连续，因为它的左右极限不同（左极限为1，右极限为2）。 **注意**：虽然这个例子说明了函数在某点可导但不连续，但它并不直接展示导函数（即原函数的导数）的不连续性。为了展示导函数的不连续性，我们需要考虑更复杂的函数。 ### 二、复杂函数（振荡函数构造的复合函数） 考虑以下函数： f(x)={0,x=0x2sin(1/x),x≠0f(x) = \begin{cases} 0, & x = 0 \\ x^2\sin(1/x), & x eq 0 \end{cases}f(x)={0,x2sin(1/x),​x=0x≠0​ 这个函数在全体实数上可导。当x≠0x eq 0x≠0时，其导数为： f′(x)=2xsin(1/x)−cos(1/x)f'(x) = 2x\sin(1/x) - \cos(1/x)f′(x)=2xsin(1/x)−cos(1/x) 在x=0x = 0x=0处，由导数定义可得f′(0)=0f'(0) = 0f′(0)=0。然而，当x→0x \to 0x→0时，cos(1/x)\cos(1/x)cos(1/x)在−1-1−1到1之间无限振荡，导致limx→0f′(x)\lim_{x \to 0} f'(x)limx→0f′(x)不存在。因此，尽管原函数f(x)f(x)f(x)在整个实数集上是处处可导的，但其导函数f′(x)f'(x)f′(x)在x=0x = 0x=0处是不连续的。 这个例子展示了即使一个函数在其定义域内处处可导（即光滑），其导数也可能具有非常不同的性质，包括不连续性。 综上所述，我们给出了两种类型的函数例子，它们在某点或某区间内可导但不连续（对于第二种例子，是指其导函数不连续）。这些例子有助于我们深入理解导数的存在性与连续性之间的关系。