求函数的单调区间是数学分析中的一个重要问题。下面我将详细解释如何求函数的单调区间，包括单调区间的定义、求解步骤以及具体的例子。 ### 一、单调区间的定义 单调区间是指函数在某一区间内，函数值随自变量增大而一致增大（单调增加）或一致减小（单调减少）的区间。具体来说，对于函数y=f(x)，若在其定义域内的某个区间I上，对于任意的x1, x2∈I，当x1<x2时，都有f(x1)≤f(x2)（或f(x1)≥f(x2)），则称函数f(x)在区间I上是单调增加的（或单调减少的）。 ### 二、求解步骤 1. **求导数**： 计算函数的导数，记作f'(x)。 2. **求导数的零点和不可导点**： 解方程f'(x) = 0，找出导数的零点，并确定函数的不可导点。 3. **划分区间**： 根据上一步得到的零点和不可导点，将定义域划分为若干个小区间。 4. **确定每个区间的单调性**： 在每个小区间内，选取一个测试点，通过判断导数的符号来确定函数在该区间内的单调性。 ### 三、具体例子 **例子1**：求解函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调区间。 1. 求导数： f'(x) = 3x^2 - 6x 2. 求导数的零点和不可导点： 解方程3x^2 - 6x = 0，得到x = 0或x = 2。 3. 划分区间： 根据零点x = 0和x = 2，将定义域(-∞, +∞)划分为(-∞, 0)、(0, 2)和(2, +∞)三个区间。 4. 确定每个区间的单调性： - 在区间(-∞, 0)，选取测试点x = -1，代入f'(x) = 3x^2 - 6x，得到f'(-1) = 9 > 0，因此f(x)在(-∞, 0)单调递增。 - 在区间(0, 2)，选取测试点x = 1，代入f'(x)，得到f'(1) = -3 < 0，因此f(x)在(0, 2)单调递减。 - 在区间(2, +∞)，选取测试点x = 3，代入f'(x)，得到f'(3) = 9 > 0，因此f(x)在(2, +∞)单调递增。 因此，函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2的单调递增区间为(-∞, 0)和(2, +∞)，单调递减区间为(0, 2)。 希望这个详细的解释和例子能够帮助你理解如何求函数的单调区间。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。