因式分解彻底的要求是将一个多项式化为几个最简整式的乘积形式，且这些整式不能再继续被分解。换句话说，分解后的每个因式都应该是最简形式，且它们的乘积应等于原多项式。 具体来说，判断因式分解是否彻底，可以遵循以下几个步骤： 1. **检查公因式**：首先检查分解后的每个因式是否还有公因式可以提取。如果有，则说明分解不彻底，需要继续提取公因式。 2. **应用公式法**：对于符合完全平方公式或平方差公式的多项式，检查是否已正确应用这些公式进行分解。如果没有，或者分解后的式子还可以继续应用这些公式，则说明分解不彻底。 3. **十字相乘法与分组分解法**：对于二次三项式或更复杂的多项式，检查是否已尝试使用十字相乘法或分组分解法进行分解。如果分解后的式子还可以继续用这些方法简化，则说明分解不彻底。 4. **检查数字与字母的倍数**：最后，检查分解后的每个因式中的字母和数字是否还有可以进一步分解的倍数关系。如果有，同样说明分解不彻底。 例如，对于多项式$4x^2 - 12xy + 9y^2$，我们可以先提取公因式4，得到$4(x^2 - 3xy + rac{9}{4}y^2)$。然后观察括号内的三项式，它是一个完全平方公式，可以进一步分解为$4(x - rac{3}{2}y)^2$。这样，多项式就被彻底分解了。 综上所述，因式分解要彻底，就需要确保分解后的每个因式都是最简形式，且它们的乘积等于原多项式。同时，在分解过程中，需要灵活运用各种因式分解的方法，并仔细检查分解结果是否满足彻底分解的要求。