如果函数$f(x)$在点$x_0$处连续，那么我们可以推出以下几个重要的结论： 1. **极限值等于函数值**： $\lim_{{x \to x_0}} f(x) = f(x_0)$ 这是连续性的数学定义。它表明，当$x$趋近于$x_0$时，$f(x)$的极限值等于$f(x_0)$。 2. **局部有界性**： 在$x_0$的某个邻域内，函数$f(x)$是有界的。即存在某个正数$\delta$和正数$M$，使得对于所有满足$|x - x_0| < \delta$的$x$，都有$|f(x)| \leq M$。 3. **局部保号性**： 如果$f(x_0) > 0$（或$< 0$），则存在$x_0$的某个邻域，使得在该邻域内的所有$x$，都有$f(x) > 0$（或$< 0$）。这反映了函数在连续点附近保持其符号的性质。 4. **中介值定理的推论**： 如果函数在闭区间$[a, b]$上连续，且$f(a) eq f(b)$，则对于$f(a)$和$f(b)$之间的任意值$c$，都存在至少一个$x \in (a, b)$，使得$f(x) = c$。虽然这个结论本身不直接由单一点的连续性推出，但它是在连续函数上广泛适用的一个重要定理，与连续性密切相关。 5. **可积性的基础**： 虽然连续性不是函数可积的充分条件（例如，有界且只有有限个间断点的函数也是可积的），但它是可积性的一个重要基础。在更高级的数学中，连续函数在闭区间上的可积性是通过更精细的积分理论（如黎曼积分或勒贝格积分）来严格定义的。 6. **与导数的关系**： 虽然连续性不是可导性的充分条件（例如，存在连续但不可导的函数，如魏尔斯特拉斯函数），但可导性必然意味着连续性。即，如果一个函数在某点可导，则它在该点必然连续。 综上所述，函数在一点的连续性是一个强大而基础的概念，它在数学分析的许多领域中都有着广泛的应用和深远的影响。