旋转体的体积公式在绕x轴和绕y轴时有所不同，具体公式如下： ### 绕x轴旋转 当平面图形绕x轴旋转形成立体时，其体积$V$可由以下公式计算： $V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^{2} \, dx$ 其中，$f(x)$是描述平面图形边界的函数，$a$和$b$是积分的上下限，代表图形在x轴上的投影范围。 ### 绕y轴旋转 类似地，当平面图形绕y轴旋转形成立体时，其体积$V$可由以下公式计算： $V = \pi \int_{c}^{d} [g(y)]^{2} \, dy$ 其中，$g(y)$是描述平面图形边界的另一个函数（可能与$f(x)$不同），$c$和$d$是积分的上下限，代表图形在y轴上的投影范围。 ### 解释与推导 这些公式可以通过将旋转体分解为无数个薄圆盘（或圆柱壳），并计算这些圆盘的体积之和来推导。每个薄圆盘的体积可以近似为$\pi r^{2}h$，其中$r$是圆盘的半径，$h$是圆盘的高度（或厚度）。在绕x轴或y轴旋转的情况下，$r$由相应的函数$f(x)$或$g(y)$给出，而$h$则由积分的微小元素$dx$或$dy$表示。通过对整个投影范围进行积分，就可以得到旋转体的总体积。 希望这些解释能帮助你更好地理解旋转体体积的公式及其应用！