曲线绕x轴旋转一周所得曲面的方程可以表示为： 1. **基本假设**： - 假设原曲线在平面直角坐标系中的方程为 $y = f(x)$，其中 $x$ 和 $y$ 分别是横纵坐标。 2. **旋转过程**： - 当这条曲线绕x轴旋转一周时，每一个点 $(x, y)$ 都会生成一个圆。这个圆的半径就是 $y$ 的绝对值，即 $|y| = |f(x)|$。而圆心则位于 $x$ 轴上，坐标为 $(x, 0)$。 3. **曲面上的点**： - 考虑旋转后曲面上的任意一点 $P(x, \theta, z)$，其中 $\theta$ 是该点与 $x$ 轴正方向的夹角（在旋转生成的圆柱坐标系中），$z$ 是该点到 $x$ 轴（即旋转轴）的距离。由于 $P$ 点是由原曲线上的点 $(x, y)$ 旋转生成的，因此有 $z = y = f(x)$（注意这里我们考虑的是 $y$ 为正的情况，对于 $y$ 为负的情况，$z$ 应为 $-y = -f(x)$，但曲面方程形式相同，只是 $f(x)$ 取绝对值）。 4. **曲面方程**： - 在三维直角坐标系中，我们更习惯于用 $x, y, z$ 来表示点的坐标。为了将曲面方程转化为这种形式，我们需要利用三角关系。由于 $\theta$ 是 $P$ 点与 $x$ 轴正方向的夹角，因此有 $\cos\theta = \frac{x}{\sqrt{x^2 + z^2}}$（这里假设 $x \geq 0$，对于 $x < 0$ 的情况，$\cos\theta$ 的表达式会有所不同，但不影响最终曲面方程的形式）。然而，在这个特定的问题中，我们并不需要显式地求出 $\theta$，因为我们可以直接利用 $z = f(x)$ 来表示曲面。 5. **曲面性质**： - 注意到在旋转生成的曲面上，对于每一个固定的 $x$ 值，$z$ 的取值范围是 $[-|f(x)|, |f(x)|]$。因此，曲面方程可以表示为： $$z = \pm f(x) \quad (\text{其中 } x \text{ 在原曲线的定义域内})$$ 或者更一般地（考虑到 $f(x)$ 可能为正也可能为负）： $$z^2 = f(x)^2 \quad (\text{其中 } x \text{ 在原曲线的定义域内})$$ 这个方程描述了曲线绕 $x$ 轴旋转一周所生成的曲面。需要注意的是，这里的 $z^2 = f(x)^2$ 是一个隐式方程，它并不直接给出 $z$ 作为 $x$ 的函数。在实际应用中，我们可能需要根据具体问题的需求来求解这个方程或者利用它来进行进一步的分析和计算。 希望这个解答能够帮助你理解曲线绕 $x$ 轴旋转一周所得曲面的方程。如果你还有其他关于这个主题的疑问，请随时告诉我。