数学解题器
要求$3x + 4y = 12$时$xy$的最大值，我们可以使用不等式的方法来解决这个问题。
1. **应用不等式**：
- 根据算术平均值-几何平均值不等式（AM-GM不等式），对于所有非负实数$a$和$b$，有：
$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$
- 将$3x$和$4y$代入不等式，得到：
$\frac{3x + 4y}{2} \geq \sqrt{3x \cdot 4y}$
- 即：
$\frac{12}{2} \geq \sqrt{12xy}$
- 化简得：
$6 \geq 2\sqrt{3xy}$
- 进一步化简为：
$3 \geq \sqrt{3xy}$
- 两边平方，得到：
$9 \geq 3xy$
- 即：
$xy \leq 3$
- 当且仅当$3x = 4y$时，等号成立。
2. **解方程组**：
- 解方程组：
$\begin{cases}
3x + 4y = 12 \\
3x = 4y
\end{cases}$
- 将第二个方程代入第一个方程，得到：
$3x + 3\left(\frac{3x}{4}\right) = 12$
- 即：
$\frac{12x}{4} + \frac{9x}{4} = 12$
- $\frac{21x}{4} = 12$
- $21x = 48$
- $x = \frac{48}{21} = \frac{16}{7}$
- 将$x = \frac{16}{7}$代入$3x = 4y$，得到：
$3 \left( \frac{16}{7} \right) = 4y$
- $\frac{48}{7} = 4y$
- $y = \frac{12}{7}$
所以，当$x = \frac{16}{7}$，$y = \frac{12}{7}$时，$xy$取得最大值3。