函数y=x-1/x是一个在数学和计算机科学中经常遇到的函数。下面我将详细解释这个函数的一些基本性质。 1. **定义域**： - 这个函数在x=0处没有定义，因为分母不能为0。 - 因此，它的定义域是所有实数除了0，即x∈R-{0}。 2. **值域**： - 当x趋近于正无穷或负无穷时，y也趋近于正无穷或负无穷。 - 当x趋近于0时，y的绝对值会趋近于正无穷（但由于x不能为0，所以y永远不会真正达到无穷大）。 - 通过进一步的分析，我们可以确定这个函数的值域是所有实数，即y∈R。 3. **奇偶性**： - 将-x代入函数y=x-1/x中，得到y=-x+1/(-x)=-(x-1/x)=-y。 - 因此，这个函数是奇函数，即满足f(-x)=-f(x)。 4. **单调性**： - 在x>0的区间内，随着x的增加，y=x的值增加，而-1/x的值也增加（但趋近于0），所以整体函数y=x-1/x是增加的。 - 在x<0的区间内，随着x的减小（即数值上越来越负），y=x的值也减小，而-1/x的值也减小（但同样趋近于0，不过方向相反），所以整体函数y=x-1/x同样是增加的。 - 因此，这个函数在其定义域内是单调增加的。 5. **极值**： - 由于这个函数在其定义域内是单调增加的，所以它没有极值点。 6. **渐近行为**： - 当x趋近于正无穷或负无穷时，y=x-1/x的行为主要由x项主导，因此y趋近于x。 - 当x趋近于0时（从正方向或负方向），-1/x项将主导行为，使得y的绝对值趋近于无穷大。 综上所述，函数y=x-1/x是一个在其定义域内单调增加的奇函数，其值域是所有实数。这个函数在x=0处没有定义，并且当x趋近于0时，y的绝对值会趋近于无穷大。