对函数 $y = x^x$ 求导，我们可以使用链式法则和对数求导法。以下是使用对数求导法的步骤： 1. **两边取自然对数**： $$\ln y = \ln(x^x)\ 2. **利用对数的性质化简**： $$\ln y = x \ln x\\ 3. **对等式两边求导**： - 对左边 $\ln y$ 求导，应用链式法则： $$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}\\ - 对右边 $x \ln x$ 求导，应用乘积法则： $$\ln x + 1\\ 因此，我们得到： $$\frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1\\ 4. **解出 $\frac{dy}{dx}$**： $$\frac{dy}{dx} = y (\ln x + 1)\\ 5. **将 $y = x^x$ 代入**： $$\frac{dy}{dx} = x^x (\ln x + 1)\\ 所以，函数 $y = x^x$ 的导数是 $x^x (\ln x + 1)$。