分布函数是描述随机变量取值小于或等于某个给定值的概率的函数，全称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF）。在统计学与概率论中，它是一个至关重要的概念，用于帮助我们理解随机变量的分布情况。 ### 分布函数的定义 设X是一个随机变量，x是任意实数，分布函数F(x)定义为F(x) = P(X ≤ x)，其中P表示概率。这意味着，分布函数给出了随机变量X取值小于或等于x的概率。 ### 分布函数的性质 1. **单调不减性**：对于任意x1 < x2，都有F(x1) ≤ F(x2)。这是因为随着x的增大，随机变量X取值小于或等于x的概率也会增大。 2. **取值范围**：分布函数的取值范围在0到1之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1。这是因为概率的取值范围就是0到1。 3. **右连续性**：分布函数是右连续的，即当x从某个值x0的左侧趋近时，F(x)的值会趋近于F(x0)。 ### 分布函数的例子 - **离散型随机变量**：以二项分布为例，设X ~ B(n, p)，其分布函数为F(x) = P(X ≤ x) = Σ_{k=0}^{⌊x⌋} C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)，其中C(n, k)表示组合数。 - **连续型随机变量**：以正态分布为例，设X ~ N(μ, σ^2)，其分布函数为F(x) = (1/(√(2π)σ)) ∫_{-∞}^{x} e^(-((t-μ)^2)/(2σ^2)) dt。 ### 求解分布函数 - 对于离散型随机变量，可以通过列举所有可能的取值及其概率，然后计算累积概率来得到分布函数。 - 对于连续型随机变量，求解分布函数通常需要利用概率密度函数进行积分。 分布函数是概率论与数理统计的基础工具之一，它帮助我们理解随机现象的规律，为数据分析、风险评估等提供了有力的数学支撑。 你对分布函数还有进一步的问题吗？或者需要更多的例子来加深理解？