讨论含参函数的单调性，其本质就是讨论导函数符号的变化情况。以下是一些具体的方法与技巧： ### 一、明确讨论步骤 1. **写出函数表达式**：清晰地写出含参函数的表达式，如f(x，a)，其中a是参数。 2. **求一阶导数**：利用导数的定义和计算规则，求出函数关于自变量x的一阶导数f'(x，a)。 3. **确定参数范围**：根据题目要求或实际情况，确定参数a的可能取值范围。 4. **分类讨论**：针对每个可能的参数取值范围，分别求解一阶导数并判断其符号，从而确定函数的单调性。例如，若a=1，则求f'(x，1)并分析其符号；若a>1，则求f'(x，a)（此时a作为常数处理）并分析其符号；若a<1，同样求f'(x，a)并分析其符号。 5. **寻找临界点**：令一阶导数等于0，即解方程f'(x，a)=0，得到临界点xc。 6. **分析临界点左右的变化**：选取临界点附近的点，代入一阶导数中，观察其符号变化。如果符号由正变负，则函数在临界点左侧单调递增，右侧单调递减；反之亦然。 7. **验证结果**：可以通过代入具体数值或绘制函数图像等方法进行验证。 ### 二、把握分类讨论点 对于利用导数讨论含参函数的单调性问题，常见的分类讨论点主要有以下三个： 1. **求导后，考虑f'(x)=0是否有实根**：这会引起分类讨论。 2. **求导后，f'(x)=0有实根，但不清楚实根是否落在定义域内**：这同样会引起分类讨论。 3. **求导后，f'(x)=0的实根落在定义域内，但不清楚这些根的大小关系**：这也会引起分类讨论。 ### 三、利用十二字方针 讨论时要考虑参数所在的位置及参数取值对导函数符号的影响，牢记十二字方针“**是不是，有没有，在不在，大不大**”： 1. **最高次幂的系数是否为0**：即“是不是”。 2. **导函数是否有变号零点**：即“有没有”。 3. **导函数的变号零点是否在函数定义域或指定区间内**：即“在不在”。 4. **导函数的变号零点之间的大小关系**：即“大不大”。 ### 四、灵活处理特殊情况 1. **导主一次型**：若导数化简后自变量x的最高次数为1，则直接根据一次项系数正负讨论单调性。 2. **导主二次型**：若导数化简后为二次函数形式，则需要考虑二次项系数是否含有参数。如果二次项系数有参数，就按二次项系数为零、为正、为负进行讨论。其次考虑二次三项式能否因式分解。如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，只需讨论零点是否在定义域内，以及零点的大小关系。如果二次三项式不能因式分解，则需要讨论判别式Δ≤0和Δ>0两种情况。 ### 五、例题解析 例如，讨论函数f(x)=x-alnx(a∈R)的单调性： 1. 求导得f'(x)=1-a/x（x>0）。 2. 令f'(x)=0，得x=a。 3. 当a≤0时，f'(x)>0在(0，+∞)上恒成立，所以f(x)在(0，+∞)上单调递增。 4. 当a>0时，若x∈(0，a)，则f'(x)<0；若x∈(a，+∞)，则f'(x)>0。所以f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，+∞)上单调递增。 综上，通过明确讨论步骤、把握分类讨论点、利用十二字方针、灵活处理特殊情况以及参考例题解析，我们可以有效地讨论含参函数的单调性。