经验回归方程，也称经验公式或经验回归函数，主要用于描述两个变量之间的线性关系。其一般形式为： **$\hat{Y} = a + bX$** 释义： * $\hat{Y}$表示因变量$Y$的预测值或估计值。 * $X$是自变量。 * $b$表示自变量$X$对因变量$Y$的影响程度，也称为斜率系数。当$b>0$时，说明$X$与$Y$正相关；当$b<0$时，说明$X$与$Y$负相关。$|b|$越大，说明$X$对$Y$的影响程度越强。 * $a$为常数项，也称截距项，代表当$X=0$时$Y$的预测基准值。 经验回归方程通过最小二乘法计算得出，核心在于通过数据点的偏差平方和最小化来确定参数$a$和$b$。其中，斜率系数$b$的计算公式有两种等价形式： 1. **协方差形式**： $b = \frac{\sum(X_i-\bar{X})(Y_i-\bar{Y})}{\sum(X_i-\bar{X})^2}$ 该公式通过变量与均值的离均差乘积之和计算，直观体现了斜率是$X$对$Y$变化的贡献比例。 2. **原始数据形式**： $b = \frac{n\sum x_iy_i - (\sum x_i)(\sum y_i)}{n\sum x_i^2 - (\sum x_i)^2}$ 此形式无需预先计算均值，适用于直接使用原始数据计算，在手工计算时更方便。 截距项$a$的计算公式为： $a = \bar{Y} - b\bar{X}$ 其中，$\bar{X}$和$\bar{Y}$分别为变量$X$和$Y$的均值。 使用经验回归方程时，需注意线性假设检验、残差分析、决定系数$R^2$以及外推风险等问题，以确保模型的准确性和可靠性。