分布函数，也称为累积分布函数（Cumulative Distribution Function，简称CDF），是概率论与数理统计中的一个重要概念。它描述了随机变量X的取值小于或等于某个给定值x的概率，即F(x) = P(X ≤ x)。接下来，我们将详细探讨分布函数的一些主要性质，并通过具体例子来加深理解。 ### 分布函数的性质 1. **单调不减性**： - 对于任意x1 < x2，都有F(x1) ≤ F(x2)。 - 这意味着随着x的增大，随机变量X取值小于或等于x的概率也会增大。 2. **有界性**： - 分布函数的取值范围在0到1之间，即0 ≤ F(x) ≤ 1。 - 这是因为概率的取值范围就是0到1，而分布函数描述的是随机变量取值小于或等于某个值的概率。 3. **右连续性**： - 当x从某个值x0的左侧趋近时，F(x)的值会趋近于F(x0)。 - 这一性质保证了分布函数在实数域上的连续性，使得我们可以方便地利用分布函数进行概率计算。 ### 具体例子 1. **二项分布**： - 设X ~ B(n, p)，即X服从参数为n和p的二项分布。 - 其分布函数为：F(x) = P(X ≤ x) = Σ_{k=0}^{⌊x⌋} C(n, k) p^k (1-p)^(n-k)，其中⌊x⌋表示不大于x的最大整数。 - 这个公式表示了随机变量X取值小于或等于x的概率，是通过计算所有小于或等于x的取值的概率之和来得到的。 2. **正态分布**： - 设X ~ N(μ, σ^2)，即X服从均值为μ、方差为σ^2的正态分布。 - 其分布函数为：F(x) = (1/√(2π)σ) ∫_{-∞}^{x} e^(-(t-μ)^2/(2σ^2)) dt。 - 这个公式表示了随机变量X取值小于或等于x的概率，是通过计算从负无穷到x的正态分布概率密度函数的积分来得到的。 ### 应用实例 - 假设某产品的寿命X服从指数分布，参数λ = 0.1。我们要求该产品寿命不超过10年的概率。 - 其分布函数为：F(x) = 1 - e^(-λx)。 - 将x = 10和λ = 0.1代入公式，得到：F(10) = 1 - e^(-0.1 * 10) = 1 - e^(-1) ≈ 0.632。 - 这意味着该产品寿命不超过10年的概率约为63.2%。 通过以上例子，我们可以看到分布函数在描述随机变量概率分布、计算特定概率以及评估风险等方面的应用。希望这些解释和例子能帮助你更好地理解分布函数的性质和应用。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。