首先，我们需要明确函数的形式。给定的函数是 $y = \ln(x\sqrt{1 + x^{2}})$。 为了求导，我们可以先对函数内部进行化简。利用对数的性质，我们可以将原函数写为： $y = \ln(x\sqrt{1 + x^{2}}) = \ln(x(1 + x^{2})^{\frac{1}{2}})$ 进一步，利用对数的乘法性质，得到： $y = \ln x + \ln(1 + x^{2})^{\frac{1}{2}}$ 再次利用对数的指数性质，化简为： $y = \ln x + \frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$ 接下来，我们分别求两部分的导数。 对于 $\ln x$ 部分，其导数为 $\frac{1}{x}$。 对于 $\frac{1}{2}\ln(1 + x^{2})$ 部分，我们可以先求 $\ln(1 + x^{2})$ 的导数，再利用链式法则和常数倍法则得到其导数为 $\frac{x}{1 + x^{2}}$，再乘以 $\frac{1}{2}$，得到 $\frac{1}{2} \times \frac{x}{1 + x^{2}} = \frac{x}{2(1 + x^{2})}$。 因此，原函数的导数为： $y^{\prime} = \frac{1}{x} + \frac{x}{2(1 + x^{2})}$ 为了得到更简洁的形式，我们可以找两个分数的公共分母，即 $2x(1 + x^{2})$，然后进行合并： $y^{\prime} = \frac{2(1 + x^{2}) + x^{2}}{2x(1 + x^{2})} = \frac{2 + 3x^{2}}{2x(1 + x^{2})}$ 但通常，我们更倾向于保留之前的形式，因为它更直观且易于计算： $y^{\prime} = \frac{1}{x} + \frac{x}{2(1 + x^{2})}$ 所以，函数 $y = \ln(x\sqrt{1 + x^{2}})$ 的导数为 $y^{\prime} = \frac{1}{x} + \frac{x}{2(1 + x^{2})}$。