要找到函数 $y = x^2$ 的反函数，我们首先需要明确原函数的定义域和值域。 函数 $y = x^2$ 的定义域是全体实数集 $R$，但值域是非负实数集 $[0, +\infty)$，因为任何实数的平方都是非负的。 为了找到反函数，我们需要交换 $x$ 和 $y$ 的位置，并解出 $y$： $x = y^2$ 为了解出 $y$，我们需要考虑 $x$ 的正负性。因为 $y^2 = x$，所以 $y$ 可以是 $\sqrt{x}$ 或 $-\sqrt{x}$。但由于原函数的值域是非负的，我们通常只考虑非负的平方根。 然而，如果我们希望反函数能够反映原函数在整个定义域上的行为（即包括负值），我们需要将反函数定义为分段函数： $y = \begin{cases} \sqrt{x}, & \text{if } x \geq 0 \\ -\sqrt{x}, & \text{if } x < 0 \end{cases}$ 但通常，当我们说“$y = x^2$ 的反函数”时，我们指的是在非负实数集上的反函数，即： $y = \sqrt{x}, \quad \text{for } x \geq 0$ 这是因为原函数 $y = x^2$ 在非负实数集上是单调递增的，因此存在反函数。而在全体实数集上，由于 $y = x^2$ 不是单调的，所以不存在一个唯一的反函数。 所以，严格来说，“$y = x^2$ 的反函数”在非负实数集上是 $y = \sqrt{x}$。