要求函数的凹凸区间和拐点，我们可以按照以下步骤来操作： ### 一、求一阶导数和二阶导数 首先，我们需要求出给定函数的一阶导数和二阶导数。一阶导数表示函数的变化趋势，而二阶导数则描述函数的曲率或弯曲程度。 ### 二、判断凹凸区间 接下来，我们根据二阶导数的符号来判断函数的凹凸性： * 如果二阶导数在某个区间内大于零，那么该区间就是函数的凹区间。 * 如果二阶导数在某个区间内小于零，那么该区间就是函数的凸区间。 为了确定具体的区间，我们可以将函数的定义域分成若干小区间，并分别判断二阶导数在各个小区间内的正负性。 ### 三、求拐点 拐点是函数曲线从凹转凸或从凸转凹的点，也就是二阶导数为零且在该点两侧二阶导数异号的点。求拐点的步骤如下： 1. 令二阶导数等于零，解出可能的拐点横坐标。 2. 对于这些可能的拐点，我们需要检查其二阶导数在左右两侧是否异号。如果异号，则该点为拐点。 3. 确定拐点的纵坐标，即将拐点的横坐标代入原函数求得。 ### 示例 以函数 f(x) = x³ - 3x² + 2x 为例： 1. 求一阶导数：f'(x) = 3x² - 6x + 2 2. 求二阶导数：f''(x) = 6x - 6 3. 判断凹凸区间： * 当 x > 1 时，f''(x) > 0，函数为凹。 * 当 x < 1 时，f''(x) < 0，函数为凸。 4. 求拐点： * 令 f''(x) = 0，解得 x = 1。 * 检查 x = 1 两侧的 f''(x) 符号，发现左侧为正、右侧为负，因此 (1, f(1)) 是拐点。 * 将 x = 1 代入原函数 f(x)，求得 f(1) = 0。 * 所以，拐点为 (1, 0)。 综上所述，通过计算一阶导数和二阶导数，并根据二阶导数的符号和零点，我们可以确定函数的凹凸区间和拐点。