对于函数f(a x)=f(a-x)的周期问题，其周期取决于函数的奇偶性：如果是偶函数，则周期为2a；如果是奇函数，则周期为4a。 ### 偶函数情况 如果函数f(x)是偶函数，那么它满足f(x)=f(-x)。此时，如果函数还满足f(a+x)=f(a-x)，我们可以这样推导： 1. 已知f(a+x)=f(a-x)，由于f(x)是偶函数，所以f(a-x)=f(x-a)。 2. 因此，f(a+x)=f(x-a)。 3. 令t=a+x，则x=t-a，所以f(t)=f(t-2a)，即f(x)=f(x-2a)。 这说明，当函数f(x)是偶函数且满足f(a+x)=f(a-x)时，它的周期是2a。 ### 奇函数情况 如果函数f(x)是奇函数，那么它满足f(-x)=-f(x)。此时，结合f(a+x)=f(a-x)，我们可以这样推导： 1. 已知f(a+x)=f(a-x)，令x取x+a代入得f(x+2a)=f(-x)。 2. 因为f(x)是奇函数，所以f(-x)=-f(x)，则f(x+2a)=-f(x)。 3. 再令y=x+2a，则x=y-2a，所以f(y)=-f(y-2a)。将y换回x，得f(x)=-f(x-2a)。 4. 进一步推导，f(x+4a)=-f(x+2a)=f(x)。 这说明，当函数f(x)是奇函数且满足f(a+x)=f(a-x)时，它的周期是4a。 综上所述，函数f(a+x)=f(a-x)的周期取决于函数的奇偶性：如果是偶函数，则周期为2a；如果是奇函数，则周期为4a。不过要注意，这个结论是基于函数同时满足f(a+x)=f(a-x)和奇偶性定义的。