我们来分析 $x$ 趋近于 0 时 $\frac{1}{x}$ 的极限。 首先，极限的定义是考虑函数在某一点附近的行为，特别是当自变量趋近于该点时函数的值是否趋近于某个确定的数。 对于函数 $f(x) = \frac{1}{x}$，当 $x$ 趋近于 0 时，我们可以从两个方面来考虑： 1. 当 $x$ 从正方向趋近于 0（即 $x \to 0^+$）时，$\frac{1}{x}$ 会趋近于正无穷大。 2. 当 $x$ 从负方向趋近于 0（即 $x \to 0^-$）时，$\frac{1}{x}$ 会趋近于负无穷大。 由于从两个方向趋近时得到的极限值不同（一个是正无穷大，一个是负无穷大），因此我们可以说 $\lim_{{x \to 0}} \frac{1}{x}$ 是不存在的。在数学上，我们通常将这种极限称为“极限不存在”或“趋向于无穷大（但方向不同）”。 所以，当 $x$ 趋近于 0 时，$\frac{1}{x}$ 的极限是不存在的。