对于lnx-1的等价无穷小，当x趋近于1时，其等价无穷小是(x - 1)。 1. **等价无穷小的定义**： - 当两个函数在x趋近于某个值时，它们的比值趋近于1，则称这两个函数在该点处为等价无穷小。 2. **lnx-1的行为**： - 当x趋近于1时，lnx趋近于0，因此lnx - 1趋近于-1。 3. **寻找等价无穷小量**： - 通过观察和推导，发现当x趋近于1时，(x - 1)也是一个趋近于0的无穷小量。 - 为了验证lnx - 1与(x - 1)是否等价，考虑它们的比值： $$\lim_{{x \to 1}} \frac{\ln x - 1}{x - 1}$$ - 这个极限可以通过洛必达法则（L'Hopital's Rule）来求解，但在这里可以利用已知的泰勒级数展开式来得到结果。 4. **泰勒级数展开式**： - 当x趋近于1时，lnx的泰勒级数展开式为： $$\ln x = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots$$ - 因此，lnx - 1的泰勒级数展开式为： $$\ln x - 1 = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac{(x - 1)^3}{3} - \cdots - 1$$ $$= (x - 1) - \left( \frac{(x - 1)^2}{2} - \frac{(x - 1)^3}{3} + \cdots \right)$$ 5. **结论**： - 由于我们只关心x趋近于1时的等价无穷小，因此可以忽略高阶无穷小项，即： $$\ln x - 1 \sim (x - 1)$$ （当$x \to 1$） 所以，lnx - 1在x趋近于1时的等价无穷小是(x - 1)。希望这个解释能帮助你理解这个问题。如果你还有其他疑问或需要进一步的帮助，请随时告诉我。