驻点和极值点是微积分学中研究函数局部性质的重要概念，它们之间的关系既紧密又微妙。下面是对这两者关系的详细解析： ### 驻点的定义 驻点指的是函数一阶导数为零的点，即函数在某点的切线水平。具体来说，如果函数f(x)在点x0处的一阶导数f'(x0)等于零，那么x0就称为f(x)的驻点。 ### 极值点的定义 极值点则是指函数在某个小邻域内取得最大值或最小值的点。更准确地说，如果存在一个包含x0的邻域，对于该邻域内所有的x，都有f(x)≥f(x0)（对于极大值点）或f(x)≤f(x0)（对于极小值点），那么x0就称为f(x)的极值点。 ### 驻点与极值点的关系 1. **驻点不一定是极值点**：虽然驻点是函数一阶导数为零的点，但并不意味着在该点处函数取得了局部最值。例如，对于函数f(x)=x³，在x=0处，导数f'(x)=3x²等于零，因此x=0是f(x)的驻点。然而在该点附近，f(x)既不取得局部最大值也不取得局部最小值，因此x=0不是极值点。 2. **可导函数的极值点必定是驻点**：极值点的一个重要性质是，在该点处函数的增减性会发生变化，即函数图像在该点附近会由增变减或由减变增。这种增减性的变化必然导致函数在该点的一阶导数为零，因此可导函数的极值点必定是驻点。但需要注意的是，如果函数在极值点处不可导，则该点就不是驻点，但仍可能是极值点，如函数f(x)=|x|在x=0处取得极小值，但该点处函数不可导，因此不是驻点。 综上所述，驻点和极值点之间的关系可以概括为：驻点不一定是极值点，但可导函数的极值点必定是驻点。这一关系在微积分学和数学分析中具有重要意义，有助于我们更深入地理解和研究函数的性质。