1+x的1/x次方的极限是1。这个极限是微积分中的一个经典问题，可以通过自然对数变换和洛必达法则来求解。 1. **自然对数变换**： - 对等式两边取自然对数，得到： $$\ln\left(\lim_{{x \to \infty}} (1+x)^{\frac{1}{x}}\right) = \lim_{{x \to \infty}} \ln\left((1+x)^{\frac{1}{x}}\right)$$ 2. **对数性质转化**： - 利用对数的性质，将上式转化为： $$\ln\left(\lim_{{x \to \infty}} (1+x)^{\frac{1}{x}}\right) = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(1+x)}{x}$$ 3. **洛必达法则求解**： - 利用洛必达法则，计算极限： $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln(1+x)}{x} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{1}{1+x}}{1} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{1+x} = 0$$ 4. **结果转换**： - 由于自然对数的底数是 $e$，将结果转换回原极限形式： $$\ln\left(\lim_{{x \to \infty}} (1+x)^{\frac{1}{x}}\right) = 0$$ $$\lim_{{x \to \infty}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e^0 = 1$$ 因此，$\lim_{{x \to \infty}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = 1$。这个极限结果在数学和实际应用中都有着广泛的应用，特别是在分析复杂函数的渐近行为时。你还有其他关于微积分或极限的问题吗？我很乐意为你解答。