要证明极限 $\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$，我们可以按照以下步骤进行： 1. **设定函数**： - 设 $y = \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x$。 2. **取自然对数**： - 对 $y$ 取自然对数，得到： $$\ln y = \ln \left[\left(1 + \frac{1}{x}\right)^x\right] = x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)$$ 3. **变形极限形式**： - 对 $\ln y$ 进行变形，使其形式更适合求极限： $$\ln y = x \ln \left(1 + \frac{1}{x}\right) = \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}}$$ 4. **应用洛必达法则**： - 当 $x \to \infty$ 时，$\frac{1}{x} \to 0$。因此，我们可以利用洛必达法则来求这个极限： $$\lim_{{x \to \infty}} \frac{\ln \left(1 + \frac{1}{x}\right)}{\frac{1}{x}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{\frac{-1/x^2}{1 + 1/x}}{-1/x^2} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{1 + \frac{1}{x}} = 1$$ 5. **计算 $y$ 的极限**： - 由于 $\ln y$ 的极限为 1，我们可以得出 $y$ 的极限为 $e$（因为 $e$ 是自然对数的底数，满足 $\ln e = 1$）： $$\lim_{{x \to \infty}} y = \lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e^{\lim_{{x \to \infty}} \ln y} = e^1 = e$$ 因此，我们证明了 $\lim_{{x \to \infty}} \left(1 + \frac{1}{x}\right)^x = e$。你理解了吗？如果还有其他问题，随时告诉我哦！