我们要求的是函数 $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 当 $x$ 趋于 0 时的极限。 首先，我们可以对这个函数进行变形，令 $y = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$，然后取自然对数，得到： $\ln y = \ln((1 + x)^{\frac{1}{x}}) = \frac{1}{x} \ln(1 + x)$ 接下来，我们要求 $\ln y$ 当 $x$ 趋于 0 时的极限。为了求这个极限，我们可以使用洛必达法则（L'Hopital's Rule），因为此时极限的形式为 $\frac{0}{0}$（即 $\ln(1+0) = 0$ 且 $\frac{1}{0}$ 无定义）。 应用洛必达法则，对分子和分母分别求导： $\lim_{{x \to 0}} \frac{\ln(1 + x)}{x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{\frac{d}{dx} \ln(1 + x)}{\frac{d}{dx} x} = \lim_{{x \to 0}} \frac{1}{1 + x} \cdot \frac{1}{1} = 1$ 所以，$\ln y$ 当 $x$ 趋于 0 时的极限是 1。 现在，我们回到原函数 $y = (1 + x)^{\frac{1}{x}}$。由于我们已经知道 $\ln y$ 的极限是 1，我们可以求出 $y$ 的极限： $\lim_{{x \to 0}} y = \lim_{{x \to 0}} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = e^{\lim_{{x \to 0}} \ln y} = e^1 = e$ 因此，函数 $(1 + x)^{\frac{1}{x}}$ 当 $x$ 趋于 0 时的极限是 $e$。