函数 $y = x - rac{1}{x}$ 是一个定义在 $x eq 0$ 上的奇函数，它在整个定义域内单调递增，是一个初等函数但不是多项式函数等特殊类型函数。 1. **定义域**：由于分母不能为0，所以这个函数的定义域是 $x eq 0$，即 $x$ 可以取除了0以外的任何实数。 2. **奇偶性**：我们来判断一下这个函数是否是奇函数或偶函数。奇函数的定义是 $f(-x) = -f(x)$。将 $-x$ 代入 $y = x - rac{1}{x}$，得到 $y = -x + rac{1}{x} = - (x - rac{1}{x})$，满足奇函数的定义，所以这是一个奇函数。 3. **单调性**：这个函数在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 的区间上单调性是不同的。我们可以通过求导来判断。对 $y = x - rac{1}{x}$ 求导，得到 $y' = 1 + rac{1}{x^2}$。由于 $x^2$ 总是大于0（除了 $x = 0$，但 $x = 0$ 不在定义域内），所以 $rac{1}{x^2}$ 也总是大于0，因此 $y' = 1 + rac{1}{x^2} > 0$。这说明函数在整个定义域内（除了0点）都是单调递增的。但更精确地说，它在 $x > 0$ 和 $x < 0$ 上分别是单调递增的。 4. **函数类型**：从形式上看，这是一个由基本初等函数（幂函数和一次函数）通过有限次的加、减、乘、除运算得到的函数，所以它是一个初等函数。但它不是多项式函数，也不是指数函数、对数函数等常见的特殊类型函数。我们可以称它为“分式函数”或“有理函数”（尽管它实际上是一个整式与一个分式的差）。 综上所述，$y = x - rac{1}{x}$ 是一个定义在 $x eq 0$ 上的奇函数，它在整个定义域内单调递增，是一个初等函数但不是多项式函数等特殊类型函数。