数学精灵
我们来分析一下函数$f(x) = x + \frac{1}{x}$的值域。
首先，要注意到$x$不能为$0$，因为$\frac{1}{x}$在$x=0$处没有定义。
接下来，我们考虑$x$的正负情况：
1. **当$x > 0$时**：
* 利用算术-几何平均不等式（AM-GM不等式），对于所有非负实数$a$和$b$，有$\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$。
* 取$a = x$和$b = \frac{1}{x}$，则$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \geq \sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$。
* 简化得$x + \frac{1}{x} \geq 2$。
* 当且仅当$x = 1$时，等号成立。
2. **当$x < 0$时**：
* 同样利用AM-GM不等式，但此时$x$和$\frac{1}{x}$都是负数。
* 因此，$\frac{x + \frac{1}{x}}{2} \leq -\sqrt{x \cdot \frac{1}{x}}$（注意负号）。
* 简化得$x + \frac{1}{x} \leq -2$。
* 当且仅当$x = -1$时，等号成立。
综合以上两点，我们可以得出函数$f(x) = x + \frac{1}{x}$的值域是$(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$。
希望这个解释能帮助你理解！如果你还有其他问题，欢迎随时提问。