函数f(x)在x0处可导的充要条件，我们可以从以下几个方面来详细阐述： **一、定义理解** 首先，我们要明确函数在某点可导的定义。函数f(x)在x0处可导，意味着函数在该点的导数存在。导数描述了函数值随自变量变化的快慢程度，即函数在该点的切线斜率。 **二、充要条件** 1. **极限存在性**： * 函数f(x)在x0处可导的充要条件是，以下极限存在： $\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}}$ * 这个极限就是函数f(x)在x0处的导数f'(x0)。 2. **左右导数相等**： * 函数在某点可导，还意味着该点的左导数和右导数相等。左导数定义为： $\lim_{{\Delta x \to 0^-}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}}$ * 右导数定义为： $\lim_{{\Delta x \to 0^+}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}}$ * 当左导数和右导数相等时，函数在该点可导。 **三、几何意义** 从几何角度来看，函数在某点可导意味着该点存在唯一的切线。如果函数在某点不可导，那么该点可能没有切线，或者存在多条切线（即切线不唯一）。 **四、实例分析** 例如，对于函数f(x) = |x|，在x = 0处，左导数为-1，右导数为1，左右导数不相等，因此函数在x = 0处不可导。 综上所述，函数f(x)在x0处可导的充要条件是极限$\lim_{{\Delta x \to 0}} \frac{{f(x_0 + \Delta x) - f(x_0)}}{{\Delta x}}$存在，或者等价地，该点的左导数和右导数相等。