函数(1+x)^(1/x)的极限在x趋近于0时是e。 ### 详细解释 1. **极限条件**：首先，我们要明确这个极限是在x趋近于0的情况下考虑的。也就是说，我们要计算的是： lim (x->0) (1+x)^(1/x) 2. **指数函数关系**：为了理解这个极限，我们可以考虑一个相关的函数，即自然对数函数的反函数——指数函数。不过在这里，我们先不用这个高级知识，而是用更直观的方法来解释。 3. **变形与化简**：我们可以尝试将(1+x)^(1/x)进行变形，看看在x趋近于0时它的行为如何。首先，我们可以将其转化为e的某个幂次形式，即： (1+x)^(1/x) = e^[ln((1+x)^(1/x))] 利用对数的性质，我们可以进一步化简为： e^[(1/x) * ln(1+x)] 4. **极限计算**：现在，我们考虑x趋近于0时，(1/x) * ln(1+x)的极限。为了找到这个极限，我们可以使用洛必达法则（L'Hopital's Rule），这是一个处理0/0或∞/∞型极限的强有力工具。不过在这里，为了简化说明，我们可以直接给出一个基于泰勒级数展开的结果： 当x很小时，ln(1+x)可以近似为x（这是泰勒级数展开的第一项）。所以，(1/x) * ln(1+x)在x趋近于0时就趋近于1。 5. **结论**：因此，我们有： lim (x->0) e^[(1/x) * ln(1+x)] = e^1 = e 所以，(1+x)^(1/x)在x趋近于0时的极限就是e。这个e是一个非常重要的数学常数，它在微积分、概率论、物理学等多个领域都有广泛的应用。希望这个解释能帮助你更好地理解这个极限问题！ 你还有其他关于微积分的问题吗？我很乐意继续为你解答哦！