首先，我们求出函数$f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1$的导数$f^{\prime}(x)$，有 $f^{\prime}(x) = 3x^2 + 6x - 9$ 为了找出函数的单调区间，我们需要解方程$f^{\prime}(x) = 0$，即 $3x^2 + 6x - 9 = 0$ 解得 $x = -3, \quad x = 1$ 接下来，我们分析$f^{\prime}(x)$的符号： * 当$x < -3$时，$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 6x - 9 > 0$，所以$f(x)$在区间$(-\infty, -3)$上单调递增； * 当$-3 < x < 1$时，$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 6x - 9 < 0$，所以$f(x)$在区间$(-3, 1)$上单调 递减；* 当$x > 1$时，$f^{\prime}(x) = 3x^2 + 6x - 9 > 0$，所以$f(x)$在区间$(1, +\infty)$上单调递增。 因此，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, -3)$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(-3, 1)$。 最后，我们求出函数的极值： * 在$x = -3$处，由于函数由递增变为递减，所以$f(-3)$是极大值，计算得$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = 27 + 27 + 27 + 1 = 82$； * 在$x = 1$处，由于函数由递减变为递增，所以$f(1)$是极小值，计算得$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4$。 综上，函数$f(x)$的单调递增区间为$(-\infty, -3)$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(-3, 1)$，极大值为82，极小值为-4。