在线性回归分析中，线性相关系数 $r$ 和决定系数 $R^2$ 是两个重要的统计量，它们用于描述两个变量之间的线性关系以及模型对数据的拟合程度。 ### 线性相关系数 $r$ 线性相关系数 $r$ 是一个介于 -1 和 1 之间的值，用于衡量两个变量之间的线性关系的强度和方向。其计算公式为： $$ r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2 \sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^2}} $$ 其中，$x_i$ 和 $y_i$ 分别是两个变量的观测值，$\bar{x}$ 和 $\bar{y}$ 分别是这两个变量的均值，$n$ 是观测值的数量。 ### 决定系数 $R^2$ 决定系数 $R^2$（也称为拟合优度）用于量化模型对数据的拟合程度。它表示模型中自变量对因变量的解释程度，取值范围也是 0 到 1。$R^2$ 越接近 1，说明模型对数据的拟合越好。其计算公式为： $$ R^2 = \frac{SSR}{SST} = 1 - \frac{SSE}{SST} $$ 其中， - $SSR$ 是回归平方和（Sum of Squares Regression），表示模型解释的变异； - $SST$ 是总平方和（Sum of Squares Total），表示总变异； - $SSE$ 是残差平方和（Sum of Squares Error），表示模型未解释的变异。 在简单线性回归中，$R^2$ 与线性相关系数 $r$ 的关系是： $$ R^2 = r^2 $$ 这意味着决定系数 $R^2$ 等于线性相关系数 $r$ 的平方。 ### 总结 - 线性相关系数 $r$ 衡量了两个变量之间的线性关系强度和方向。 - 决定系数 $R^2$ 量化了模型对数据的拟合程度，并等于线性相关系数 $r$ 的平方。 希望这能帮助你更好地理解线性相关系数 $r$ 与决定系数 $R^2$ 的公式和它们之间的关系。如果你还有其他关于 R 语言或统计学的问题，欢迎随时提问！