通典：幂函数是指形如 $y = x^n$ 的函数，其中 $x$ 是自变量，$n$ 是实数。对于这类函数，其导数（即斜率的变化率）有一个特定的规则，称为幂函数的求导法则。 对于幂函数 $y = x^n$，其导数为 $y' = nx^{n-1}$。这个公式表明，当我们对 $x^n$ 求导时，结果是将指数 $n$ 与原函数相乘，并将指数减一。 * 当 $n = 2$ 时：原函数 $y = x^2$，导数 $y' = 2x^{2-1} = 2x$。 * 当 $n = 3$ 时：原函数 $y = x^3$，导数 $y' = 3x^{3-1} = 3x^2$。 * 当 $n = \frac{1}{2}$ 时（注意这是平方根函数）：原函数 $y = x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$，导数 $y' = \frac{1}{2}x^{\frac{1}{2}-1} = \frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{2\sqrt{x}}$。 * 当 $n = -1$ 时（注意这是倒数函数）：原函数 $y = x^{-1} = \frac{1}{x}$，导数 $y' = -1x^{-1-1} = -1x^{-2} = -\frac{1}{x^2}$。 对于复合函数（如 $(u(x))^n$），需要使用链式法则来求导。在实际应用中，确保对定义域的限制有所了解，以避免在不可导点处使用导数公式。