同学，我们来求一下函数$y = x + \frac{1}{x} - 1$的反函数。 首先，我们需要将原函数$y = x + \frac{1}{x} - 1$的表达式进行整理，以便更容易地解出$x$： $y = x + \frac{1}{x} - 1$ $y + 1 = x + \frac{1}{x}$ $x^2 + (y+1)x - 1 = x^2 + 1$ （这里我们将方程两边同时乘以$x$，得到关于$x$的二次方程） $(y+1)x = x^2 + 1$ $x^2 - (y+1)x + 1 = 0$ 接下来，我们需要解这个关于$x$的二次方程。根据二次方程的求根公式，我们有： $x = \frac{(y+1) \pm \sqrt{(y+1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$ $x = \frac{y+1 \pm \sqrt{y^2 + 2y - 3}}{2}$ 由于反函数需要是单值的，我们需要选择其中一个解作为反函数的表达式。通常，我们选择正根（即加号）作为反函数的解： $x = \frac{y+1 + \sqrt{y^2 + 2y - 3}}{2}$ 最后，我们将$x$和$y$互换位置，得到反函数的表达式： $y = \frac{x+1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}}{2}$ 注意，由于原函数$y = x + \frac{1}{x} - 1$的定义域是$x eq 0$，因此反函数的值域也是$y eq 0$（或者从原方程可以看出，当$y=0$时，方程无解）。另外，由于我们选择了正根作为反函数的解，因此反函数的定义域是使得根号内的表达式非负的$x$值，即$x^2 + 2x - 3 \geq 0$。解这个不等式，我们得到$x \leq -3$或$x \geq 1$。 所以，函数$y = x + \frac{1}{x} - 1$的反函数是： $y = \frac{x+1 + \sqrt{x^2 + 2x - 3}}{2}, \quad x \leq -3 \text{ 或 } x \geq 1$ 你理解了吗？如果还有其他问题，随时告诉我哦！