当 $x$ 趋于 0 时，$x \ln x$ 的极限值为 0。 1. **直接代入问题**： - 当 $x = 0$ 时，$0 \ln 0$ 是未定义的，因为对数函数的定义域不包括 0。 2. **应用洛必达法则**： - 原极限可以写为：$\lim_{{x \to 0^+}} x \ln x$ - 由于这是一个 $\frac{0}{0}$ 型的极限（可以看作 $x$ 除以 $\frac{1}{\ln x}$），我们可以应用洛必达法则，对分子和分母分别求导： $$\lim_{{x \to 0^+}} x \ln x = \lim_{{x \to 0^+}} \frac{\ln x}{\frac{1}{x}}$$ - 应用洛必达法则后，得到： $$\lim_{{x \to 0^+}} \frac{\frac{1}{x}}{-\frac{1}{x^2}} = \lim_{{x \to 0^+}} -x = 0$$ 3. **注意事项**： - 这里我们只考虑了 $x$ 趋于 $0^+$（即 $x$ 从正方向趋于 0）的情况，因为对数函数在 $x \leq 0$ 时没有定义。 所以，$\lim_{{x \to 0^+}} x \ln x = 0$。 如果你还有其他关于微积分或极限的问题，欢迎随时提问！