你好我是高老师，关于连续不可导函数的例子，我们首先来理解一下什么是连续不可导函数。简单来说，就是函数在其定义域上是连续的，但在某些点或整个定义域上不可导。 典型的连续不可导函数有以下几个例子： 1. **绝对值函数**：$f(x) = |x|$。这个函数在全体实数范围内都是连续的，但在$x = 0$这一点处不可导。因为在$x = 0$这一点，函数图像的切线方向不明确，左右两侧的导数分别为-1和1，不相等，所以不满足可导的定义。 2. **魏尔斯特拉斯函数**：这是一个由傅里叶级数定义的连续但处处不可微分的函数，形式通常为$W(x) = \sum_{n=0}^{\infty} a^n \cos(b^n \pi x)$，其中$0 < a < 1$且$ab > 1 + \frac{3}{2}\pi$。尽管构造复杂，但魏尔斯特拉斯函数在整个实数轴上都是连续的，且在任意一点都不具有导数。这是因为它在每个小尺度上都表现出高度的振荡行为，导致在任何点都没有切线接触曲线。 3. **向下取整函数**：定义为$f(x) = \lfloor x \rfloor$，即把任何数向下舍入到最接近的整数。这个函数在其定义域上是连续的，但在任何整数点处都不可导。因为在这些点，函数图像的切线也不明确，左右两侧的导数不存在或不相等。 4. **狄拉克函数**：狄拉克δ函数在$x=0$处定义为无穷大，其他位置为0，且满足积分归一化条件。虽然其广义函数特性允许在$x=0$处保持某种连续性（通过积分定义），但由于函数值在单点处剧烈变化，导数无法通过常规极限定义。 这些例子展示了连续性和可导性之间的微妙关系。即使函数在其定义域上是连续的，也可能在某些点或整个定义域上不可导。单看文字信息，孩子如果无法理解，可与我约线下课，老师面授有互动，可以根据孩子的输出更针对性的做调整，以及做详细专业的学习方案。