当x趋近于0时，(1-x)^(1/x)的极限是1/e。 这个结果可以通过几种不同的方法来推导： 1. **变量替换法**： 令t = -x，当x→0时t→0。原式可以改写为(1 + t)^(-1/t)，而我们知道lim(1 + t)^(1/t) = e（t→0），所以(1 + t)^(-1/t)的极限就是e^(-1) = 1/e。 2. **泰勒展开法**： 对表达式取自然对数后展开ln(1 - x) ≈ -x - x²/2（x→0），所以ln[(1-x)^(1/x)] = ln(1-x)/x ≈ (-x - x²/2)/x = -1 - x/2。当x→0时，这个式子趋近于-1，因此原式的极限是e^(-1) = 1/e。 3. **洛必达法则**： 对于lim(x→0) ln(1-x)/x（0/0型未定式），分子和分母分别求导后，极限变为lim(x→0) (-1)/(1-x) = -1，所以原式的极限是e^(-1) = 1/e。 总结来说，无论用哪种方法计算，结果都是1/e。