这个问题涉及到微积分中的一个重要极限，也是自然对数的底数 $e$ 的定义之一。 首先，我们来看这个极限表达式： $\lim_{{x \to 0}} (1+x)^{\frac{1}{x}}$ 为了理解为什么这个极限等于 $e$，我们可以从几个方面来考虑： 1. **直观理解**： 当 $x$ 非常接近 0 时，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 表示的是 $1+x$ 在 $x$ 趋近于 0 时的连续复利增长率的极限。换句话说，如果你有一个初始投资，并且每天以某个微小的比例增长（这个比例在 $x$ 趋近于 0 时趋近于某个常数），那么连续复利增长后的最终金额将趋近于 $e$ 的某个幂次。 2. **数学推导**： 要证明这个极限等于 $e$，我们可以使用洛必达法则（L'Hôpital's rule）或者泰勒级数（Taylor series）展开。这里我们简要介绍泰勒级数展开的方法。 考虑函数 $f(x) = \ln(1+x)$，在 $x=0$ 处展开其泰勒级数： $\ln(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$ 当 $x$ 趋近于 0 时，高阶项将趋近于 0，因此我们可以近似地认为 $\ln(1+x) \approx x$。 现在考虑原极限： $\lim_{{x \to 0}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = \lim_{{x \to 0}} e^{\ln((1+x)^{\frac{1}{x}})} = \lim_{{x \to 0}} e^{\frac{\ln(1+x)}{x}}$ 由于 $\ln(1+x) \approx x$，我们有： $\lim_{{x \to 0}} e^{\frac{\ln(1+x)}{x}} \approx \lim_{{x \to 0}} e^{\frac{x}{x}} = e^1 = e$ 注意，这里的近似是基于泰勒级数的，当 $x$ 趋近于 0 时，这种近似是精确的。 3. **定义**： 在数学上，$e$ 经常被定义为这个极限的值。因此，从这个角度来看，$(1+x)^{\frac{1}{x}}$ 在 $x$ 趋近于 0 时的极限就是 $e$ 的定义。 综上所述，$\lim_{{x \to 0}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e$ 是微积分中的一个重要结论，它不仅是 $e$ 的一个定义方式，也揭示了连续复利增长率的极限行为。希望这个解释能帮助你更好地理解这个极限！