同学，关于二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与性质，我们可以从以下几个方面来探讨： ### 1. 图象形状 * 当$a > 0$时，图象是一个开口向上的抛物线。 * 当$a < 0$时，图象是一个开口向下的抛物线。 ### 2. 对称轴 二次函数$y = ax^2 + bx + c$的对称轴是直线$x = -\frac{b}{2a}$。这条直线将抛物线分为左右两个对称的部分。 ### 3. 顶点坐标 抛物线的顶点坐标可以通过公式$(-\frac{b}{2a}, c - \frac{b^2}{4a})$求得。顶点坐标是抛物线上最特殊的一点，它决定了抛物线的开口方向和位置。 ### 4. 与x轴的交点 抛物线与x轴的交点即为一元二次方程$ax^2 + bx + c = 0$的根。根据判别式$\Delta = b^2 - 4ac$： * 当$\Delta > 0$时，抛物线与x轴有两个不同的交点。 * 当$\Delta = 0$时，抛物线与x轴有一个交点（即顶点在x轴上）。 * 当$\Delta < 0$时，抛物线与x轴没有交点。 ### 5. 与y轴的交点 抛物线与y轴的交点即当$x = 0$时的函数值，坐标为$(0, c)$。 ### 6. 单调性 * 当$a > 0$时，抛物线在对称轴左侧是单调递减的，而在对称轴右侧是单调递增的。 * 当$a < 0$时，抛物线在对称轴左侧是单调递增的，而在对称轴右侧是单调递减的。 ### 7. 最值 * 当$a > 0$时，函数有最小值，即顶点的y坐标$c - \frac{b^2}{4a}$。 * 当$a < 0$时，函数有最大值，同样为顶点的y坐标$c - \frac{b^2}{4a}$。 希望这些解释能帮助你更好地理解二次函数$y = ax^2 + bx + c$的图象与性质。如果有任何疑问或需要进一步的解释，请随时告诉我哦！