求由曲线 $y = x^2$ 和 $y = x$ 所围成的图形面积，我们可以按照以下步骤进行： 1. **找出交点**： - 解方程 $x^2 = x$。 - 方程为：$x^2 - x = 0$。 - 因子分解得：$x(x - 1) = 0$。 - 解得：$x = 0$ 或 $x = 1$。 2. **确定被积函数和积分区间**： - 由于 $y = x^2$ 在 $y = x$ 的下方（在 $0 < x < 1$ 区间内），被积函数是 $y = x - x^2$。 3. **计算面积**： - 面积 $S$ 通过定积分求得： $$S = \int_{0}^{1} (x - x^2) \, dx$$ - 计算定积分： $$S = \left[ \frac{1}{2}x^2 - \frac{1}{3}x^3 \right]_{0}^{1}$$ $$S = \left( \frac{1}{2} \times 1^2 - \frac{1}{3} \times 1^3 \right) - \left( \frac{1}{2} \times 0^2 - \frac{1}{3} \times 0^3 \right)$$ $$S = \frac{1}{2} - \frac{1}{3}$$ $$S = \frac{1}{6}$$ 因此，由曲线 $y = x^2$ 和 $y = x$ 所围成的图形面积为 $\frac{1}{6}$。