对等式 $x^y = y^x$ 求导，我们可以按照以下步骤进行： 1. **取自然对数**： - 首先，对方程两边同时取自然对数，得到： $$\ln(x^y) = \ln(y^x)$$ 2. **利用对数性质**： - 将上式转化为： $$y \ln x = x \ln y$$ 3. **隐函数求导**： - 对新方程 $y \ln x = x \ln y$ 进行隐函数求导。 - 应用乘积法则和链式法则，得到： $$\frac{dy}{dx} \ln x + y \cdot \frac{1}{x} = \ln y + x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx}$$ 4. **解出导数**： - 将所有包含 $\frac{dy}{dx}$ 的项移到方程的一边，其他项移到另一边，解出 $\frac{dy}{dx}$： $$\frac{dy}{dx} \ln x - x \cdot \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln y - \frac{y}{x}$$ 5. **提取公因子**： - 将 $\frac{dy}{dx}$ 提取出来作为公因子： $$\frac{dy}{dx} (\ln x - \frac{x}{y}) = \ln y - \frac{y}{x}$$ 6. **最终导数表达式**： - 解出 $\frac{dy}{dx}$： $$\frac{dy}{dx} = \frac{\ln y - \frac{y}{x}}{\ln x - \frac{x}{y}}$$ 或者，为了更清晰地表示，可以重写为： $$\frac{dy}{dx} = \frac{y(\ln y - \frac{1}{\ln x})}{x(\ln x - \frac{1}{\ln y})}$$ 注意，这个导数表达式在 $\ln x eq \frac{x}{y}$ 和 $\ln y eq \frac{y}{x}$ 的条件下成立，因为当这些条件不满足时，分母会为零，导致导数未定义。 希望这个详细的解题步骤能帮助你理解如何对 $x^y = y^x$ 进行求导！