函数 $\frac{1}{\sin x}$ 是无界函数。 1. **定义域**：当 $\sin x eq 0$ 时，函数 $\frac{1}{\sin x}$ 是有定义的。 2. **无界性**：当 $\sin x$ 接近 0 时（例如 $x$ 接近 $0, \pi, 2\pi, \ldots$ 等），$\frac{1}{\sin x}$ 的值会变得非常大（正或负），趋向于无穷大。 3. **具体说明**：对于任意大的正数 $N$，我们总可以找到一个 $x$ 值（比如 $x = \frac{1}{N}$ 或 $x = \pi - \frac{1}{N}$），使得 $\left|\frac{1}{\sin x}\right| > N$。 这表明不存在一个正数 $M$，使得对所有 $x$ 都有 $\left|\frac{1}{\sin x}\right| \leq M$。因此，函数 $\frac{1}{\sin x}$ 在其定义域上是无界的。