为了求$2x+3y=6$时$xy$的最大值，我们可以使用不等式的方法。 1. **基本方程**： - 我们有方程$2x + 3y = 6$。 2. **使用AM-GM不等式**： - 对于非负实数$a$和$b$，AM-GM不等式可以表述为： $\frac{a+b}{2} \geq \sqrt{ab}$ - 将$2x$和$3y$代入$a$和$b$，我们得到： $\frac{2x + 3y}{2} \geq \sqrt{2x \cdot 3y}$ - 由于$2x + 3y = 6$，我们可以将其代入不等式中： $\frac{6}{2} \geq \sqrt{6xy}$ - 简化后得到： $3 \geq \sqrt{6xy}$ - 进一步平方两边，得到： $9 \geq 6xy$ - 从而： $xy \leq \frac{3}{2}$ 3. **找到最大值**： - 当且仅当$2x = 3y$时，等号成立。 - 将$2x = 3y$代入原方程$2x + 3y = 6$，我们可以解出$x$和$y$的值： $2x + 3(\frac{2x}{3}) = 6$ $2x + 2x = 6$ $4x = 6$ $x = \frac{3}{2}$ $y = \frac{2x}{3} = \frac{2 \cdot \frac{3}{2}}{3} = 1$ 所以，当$x = \frac{3}{2}$且$y = 1$时，$xy$取得最大值$\frac{3}{2}$。