同学们，咱们今天来看看这个函数 f(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 1 的单调区间和极值。 首先，咱们得求出这个函数的导数 f'(x)。导数就是函数的变化率嘛，它能帮助咱们知道函数在哪个区间是上升还是下降的。 f'(x) = 3x^2 + 6x - 9 接下来，咱们要找出导数等于 0 的点，也就是解这个方程： 3x^2 + 6x - 9 = 0 这个方程可以化简为： x^2 + 2x - 3 = 0 然后，咱们用求根公式或者因式分解法来解这个方程。这里，我选择因式分解法，因为比较简单嘛。 (x + 3)(x - 1) = 0 所以，x = -3 或者 x = 1。 现在，咱们得到了两个关键点 x = -3 和 x = 1。接下来，咱们要判断函数在这两个点之间的单调性。 咱们可以取几个测试点，比如 x = -4, x = 0, x = 2，然后代入导数 f'(x) 中，看看导数的正负。 当 x = -4 时，f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 48 - 24 - 9 = 15 > 0，所以函数在 (-∞, -3) 上是上升的。 当 x = 0 时，f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0，所以函数在 (-3, 1) 上是下降的。 当 x = 2 时，f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 12 + 12 - 9 = 15 > 0，所以函数在 (1, +∞) 上是上升的。 所以，咱们可以得出结论：函数 f(x) 在 (-∞, -3) 和 (1, +∞) 上是单调上升的，在 (-3, 1) 上是单调下降的。 最后，咱们来求极值。因为函数在 x = -3 处由上升变为下降，所以 x = -3 是一个极大值点；函数在 x = 1 处由下降变为上升，所以 x = 1 是一个极小值点。 极大值为 f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = -27 + 27 + 27 + 1 = 28。 极小值为 f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = 1 + 3 - 9 + 1 = -4。 好啦，同学们，这就是咱们今天的内容啦！希望大家都能掌握求函数单调区间和极值的方法哦！