同学，让我们一步步来找出函数$f(x)=x^3+3x^2-9x+1$的单调区间和极值吧！ 首先，我们需要求出函数的一阶导数： $f'(x) = 3x^2 + 6x - 9$ 接下来，我们要找出使一阶导数等于零的点，即解方程： $3x^2 + 6x - 9 = 0$ 解得： $x = -3, 1$ 这两个点将数轴分为三个区间：$(-\infty, -3)$，$(-3, 1)$，$(1, +\infty)$。 在每个区间内取一个代表数，代入一阶导数，判断其符号： - 在$(-\infty, -3)$区间内，取$x = -4$，则$f'(-4) = 3(-4)^2 + 6(-4) - 9 = 15 > 0$，所以函数在此区间内单调递增。 - 在$(-3, 1)$区间内，取$x = 0$，则$f'(0) = 3(0)^2 + 6(0) - 9 = -9 < 0$，所以函数在此区间内单调递减。 - 在$(1, +\infty)$区间内，取$x = 2$，则$f'(2) = 3(2)^2 + 6(2) - 9 = 15 > 0$，所以函数在此区间内单调递增。 因此，函数在$x = -3$处取得极大值，极大值为$f(-3) = (-3)^3 + 3(-3)^2 - 9(-3) + 1 = 28$； 在$x = 1$处取得极小值，极小值为$f(1) = 1^3 + 3(1)^2 - 9(1) + 1 = -4$。 综上，函数$f(x)=x^3+3x^2-9x+1$的单调递增区间为$(-\infty, -3)$和$(1, +\infty)$，单调递减区间为$(-3, 1)$；极大值为28，极小值为-4。 这样解释，你明白了吗？或者，你还有其他关于高数的问题想要了解呢？