当$x$趋近于1时，$\ln x$等价于$x-1$。这是数学分析中的一个重要结论，基于等价无穷小替换的概念。 ### 等价无穷小替换 等价无穷小替换指的是在某种极限条件下，两个函数可以视为等价，即它们的比值趋近于1。这种替换在求解极限、积分、级数等问题时具有广泛的应用。 ### 推导过程 1. **令$t=x-1$**： * 这样做是为了将$x$趋近于1的情况转化为$t$趋近于0的情况，从而利用已知的等价无穷小替换结论。 2. **求极限**： * $\lim_{{x \to 1}} \frac{\ln x}{x-1} = \lim_{{t \to 0}} \frac{\ln(1+t)}{t}$ * 根据等价无穷小替换，当$t$趋近于0时，$\ln(1+t)$等价于$t$，所以上述极限等于1。 因此，当$x$趋近于1时，$\ln x$可以等价地替换为$x-1$。 ### 注意事项 * 这个等价关系只在$x$趋近于1的条件下成立。 * 在其他情况下，$\ln x$的等价形式可能会有所不同。 希望这个解释能帮助你更好地理解当$x$趋近于1时，$\ln x$的等价形式。如果你还有其他问题或需要进一步的解释，请随时告诉我。