要求$3x + 4y = 8$时，$xy$的最大值为$rac{16}{9}$。 1. **问题分析**： - 这是一个线性规划或线性代数的问题，目标是在给定的线性方程$3x + 4y = 8$下，求$xy$的最大值。 2. **几何方法**： - 通过方程的几何表示，我们可以发现直线$3x + 4y = 8$与坐标轴围成的三角形的顶点是可能的最大值点。 - 当$x = rac{8}{3}$，$y = 2$时，三角形的面积为$rac{8}{3} imes 2 = rac{16}{3}$，其一半为$rac{16}{9}$。 3. **代数方法**： - 设$z = xy$，则$z = x imes rac{8 - 3x}{4} = rac{8x - 3x^2}{4}$。 - 对$z$求导得：$z' = rac{8 - 6x}{4}$。 - 令$z' = 0$，解得$x = rac{4}{3}$，代入原方程得$y = rac{4}{3}$。 因此，当$x = rac{4}{3}$，$y = rac{4}{3}$时，$xy$取得最大值，最大值为$rac{16}{9}$。你明白了吗？还有其他问题或者想法想要分享吗？