f(x+y) = f(x) + f(y) 描述的是一种特殊的函数性质，称为“可加性”或“加法函数”。这样的函数在数学中并不唯一，但有一些常见的例子和性质： 1. **线性函数**：最常见的满足这一性质的函数是线性函数，形式为 f(x) = ax，其中 a 是常数。这是因为对于线性函数，有：f(x+y) = a(x+y) = ax + ay = f(x) + f(y) 2. **零函数和常数函数**：零函数 f(x) = 0 和任何常数函数 f(x) = c（c 为常数）也满足这一性质，因为：f(x+y) = 0 = 0 + 0 = f(x) + f(y)（对于零函数）和f(x+y) = c = c + c = f(x) + f(y)（对于常数函数，但注意这里 c 必须相同） 3. **柯西函数**：在复数域上，还有一类称为柯西函数或指数型函数的解，它们的形式更为复杂，但同样满足可加性。 需要注意的是，并不是所有满足 f(x+y) = f(x) + f(y) 的函数都是线性的。例如，在某些特定的定义域和值域上，可能存在非线性的函数也满足这一性质。但在没有额外条件的情况下，我们通常首先考虑的是线性函数。 此外，如果函数 f(x) 在某个区间内连续，并且满足 f(x+y) = f(x) + f(y)，那么可以证明 f(x) 必然是线性的，且形式为 f(x) = ax（这是通过利用连续性和可加性逐步推导得出的）。 综上所述，f(x+y) = f(x) + f(y) 描述的是一类具有可加性的函数，其中最常见的是线性函数。