当x趋于0时，e^x-1等价于x，即它们是等价无穷小。为了证明这一点，我们可以按照以下步骤进行： 1. **定义等价无穷小**：当x趋于0时，e^x-1与x是等价无穷小，意味着lim(x→0) (e^x-1) / x = 1。 2. **变量替换**：设e^x -1=t，则当x→0时，t→0，那么x=ln(t+1)。 3. **证明等式**： - lim(x→0) (e^x-1) / x = lim(t→0) t / ln(t+1) - lim(t→0) 1 / [ ln(t+1) / t ] = lim(t→0) 1 / [ ln (1+t)^(1/t) ] 4. **应用极限运算**：根据极限的除法运算，有lim(t→0) 1 / [ ln (1+t)^(1/t) ] = 1 / lim[ ln (1+t)^(1/t) ]。 5. **复合函数性质**：根据复合函数的性质，有1 / lim[ ln (1+t)^(1/t) ] = 1 / ln [ lim (1+t)^(1/t) ]。 6. **重要极限应用**：根据重要极限lim(x→∞) (1+1/x)^x=e，可得lim (1+t)^(1/t)=e，所以1 / ln [ lim (1+t)^(1/t) ] = 1/lne = 1。 因此，证明了当x趋于0时，e^x-1与x是等价无穷小。